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DeepSeek-R1 (深度思考) DeepSeek-V3 (极速流式)

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请证明：对于任意正整数 n，表达式 n^5 - 5n^3 + 4n 均能被 120 整除。

❖ 显式思维链已展开（自发引理推导与因式分解）：

1. 将代数式展开因式：n^5 - 5n^3 + 4n = n(n^4 - 5n^2 + 4)。
2. 二次分解：n^4 - 5n^2 + 4 = (n^2 - 1)(n^2 - 4) = (n-1)(n+1)(n-2)(n+2)。
3. 重排各项因子：原式 = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)。
4. 察看性质：此为连续 5 个整数之积。任意连续 5 个正整数中，必有 1 个为 5 的倍数，至少 1 个为 4 的倍数且另有 1 个为 2 的倍数（因此被 8 整除），且至少有 1 个被 3 整除。
5. 乘积因数：5 × 8 × 3 = 120，故整除性成立。逻辑闭环无误。

证明结论：
经因式分解，原式可整理为 (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2)，即连续 5 个正整数的乘积。
根据数论整除引理，连续 5 个整数的乘积恒为 \(5! = 120\) 的整倍数，因此命题对任意正整数 \(n\) 严格成立。

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多轮因果自洽追问

支持对前序回答中的疑点进行深挖，R1 会自发回溯历史论点，在显式思维链中修补漏洞直至严密。

收束落到 DeepSeek Harness · 终极严密性验算

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